「Dropbox のパスワードが変更できないエラーが出る。その後。」とか「Dropbox のパスワードが変更できないエラーが出る。」とか書きましたが、ようやく解決しました。

原因は不明です。解決としては、新しいIDを作って、Dropboxのほうで課金情報をこちらに移してもらうということになりました。トラブルのあるIDは、タスクバーのDropboxアイコンからは、ログインした状態でDropboxのサイトに入ることができますので、新しいIDのほうに共有設定をしてデータを移しています。

随分と時間かがかかりましたが、何よりも忘れないで対応してくれたDropboxのサポート担当者には感謝です。